domingo, 28 de octubre de 2012

Espacio vectorial

Para Isabel,

Ya hemos visto qué es un grupo, y qué es un cuerpo. Ahora ya podemos definir un K-espacio vectorial o un espacio vectorial sobre K en E.

Sea ( K, +, · ) un cuerpo, y ( E, +) un grupo abeliano. Una estructura de K-espacio vectorial es una aplicación del conjunto K x E en E, que verifica cuatro propiedades.





En la última propiedad, el 1 es la unidad del cuerpo.

A los elementos del cuerpo K se les llama escalares, y a los elementos del grupo abeliano E, se les denomina vectores.
Existen otras propiedades dentro del K-espacio vectorial, pero se deducen de la definición, por ejemplo:

  1. El elemento neutro en un espacio vectorial es único.
  2. El elemento opuesto para cada vector es único.
( Estas dos propiedades se verifican en cualquier grupo )










viernes, 26 de octubre de 2012

El anillo

-Ya sé que es un grupo...me explicas ya lo del espacio vectorial?
-Sí, pero antes necesitamos un cuerpo.
-Ay mami! no empieces...
-Bueno, primero tenemos que hablar del anillo.
-¿¿¿anillo???....mami!!  que yo no me quiero casar!

Foto de Mago Moebius




Abeliano es nuestro grupo
y en vez de ( G, · ) será ( A, + )
otra operación aparece
que la estructura formará


Solo dos propiedades
tan solo serán dos 
y el anillo surgirá.
Una ya la conoces
la asociatividad


Otra que liga las dos de manera magistral,
pues nos permite operar con mucha facilidad
aunque, la verdad...
 sacar factor común nunca fue tu debilidad.
Distributiva se llama, no la confundas ya más,
para poder aplicarla, siempre, siempre necesitarás
a las dos operaciones para formar la igualdad:


Ya nuestro anillo tenemos!!
pero puede brillar aún más
si esta última operación
verifica la conmutatividad



Y un brillante final
si en A existe unidad:
un único elemento
que deja invariante
a todos los demás.



Entonces ( A, +, · )
Anillo conmutativo con unidad será.

Ya poco nos queda
para poder formar
la estructura buscada
el cuerpo, nuestro escalar.

Fíjate bien, Isabel
pues todo elemento ha de tener
otro que su inverso ha de ser.
Todos...salvo uno, que es especial,
el neutro del grupo ( A, +)
que si te parece bien
a partir de ahora
cero 0 escribiré.



Ya tenemos un cuerpo
y en vez de ( A, +, · ) será ( K, +, · )
Lo has entendido Isabel?

- Veamos...si solo considero la suma ( K, +) será grupo abeliano. Y si solo considero la multiplicación y al conjunto K le quito el cero, entonces ( K-{0}, · ) también es un grupo abeliano.

-Perfecto Isabel!!

Un cuerpo es un anillo conmutativo con unidad en el que todo elemento no nulo tiene inverso. 


Este segundo post participa en la edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas y su blog anfitrión en esta ocasión es Series Divergentes



El Grupo

-¿Qué es un espacio vectorial?
...dices mientras clavas en mi pupila tu pupila azul...



-¿Un espacio vectorial?...mmm...primero necesitamos un cuerpo.
-¡Mama! que no! que son vectores!
-Un cuerpo que actue.
-mmm...Brad Pitt!
-Uff...tenías que haber estudiado matemáticas en 2º de Bachillerato...

Vamos primero con lo primero: el grupo.



Un grupo es nuestra semilla.
Un conjunto de elementos.
La estructura más sencilla
cuando queda definida
una sola operación.

Cuatro son las propiedades
Fíjate bien!, son importantes,
la primera asociativa
si en vez de dos, son tres.


Un elemento ha de haber
tal que al operar con él
cualquier otro quede igual,
y da igual, 
por delante o por detrás,
invariante quedará.
El neutro lo llamarás.


La tercera es el inverso
lee bien este verso:
Todo elemento tendrá
otro que al operar
el neutro resultará.


Fíjate que único será,
la propiedad asociativa
la igualdad demostrará




Hasta aquí el grupo definido está,
mas hay una cosa más,
abeliano lo llamarás
si se da esta propiedad,
la conmutatividad.
Por delante o por detrás
el mismo resultado obtendrás.



Para Isabel


Este post participa en la edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas y su blog anfitrión Series Divergentes