domingo, 23 de diciembre de 2012

A por los regalos!!

Dedicado a Francisco Bellot.

Gracias por tu estupendo artículo Primera lección de Combinatoria, podéis leerlo en el número 46 de la Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática
Esta pequeña animación, sirve de introducción a los números combinatorios.


Con esta entrada participo en la Edición 3.141592653 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

Feliz Navidad a todos los Carnavaleros!! 


jueves, 22 de noviembre de 2012

Circuncentros

El pasado 10 de noviembre  la Asociación Castellana y Leonesa de Educación Matemática "Miguel de Guzmán" , junto con la Junta de Castilla y León, organizó en Burgos el XI Congreso de Educación Matemática de Castilla y León.

Una de las comunicaciones a las que tuve el placer de asistir, corrió a cargo de Francisco Bellot Rosado. El título era: ¡Que vienen los rusos!, ( genial, no os parece?) según palabras de Bellot, fue deliberadamente elegido siguiendo el consejo de Claudi Alsina, un título provocador, que llama la atención, como es el de la película de 1965, en la que un submarino ruso encalla en una pequeña aldea de la costa Este de los EEUU.

Francisco Bellot nos mostró algunos de los problemas de las Olimpiadas y concursos matemáticos rusos. Una maravilla de comunicación...

Uno de los problemas con los que disfrutamos, fue el problemas de los cuatro circuncentros:
La siguiente figura, hecha en geogebra, es la que aparece en un curioso libro de Arsenyi Akopyan, Geometry in Figures, donde no hay texto de los problemas, sólo la figura. En trazo discontinuo, lo que hay que probar:



El enunciado del problema es el siguiente:
En el lado BC del triángulo ABC, se toman dos puntos M y K, tales que los ángulos BAM y KAC sean iguales. Demostrar que los circuncentros de los cuatro triángulos BAM, BAK, MAC y KAC están en una circunferencia.

En geogebra: Podéis mover los vértices del triángulo ABC y el punto M ( K es el simétrico respecto de la bisectric del ángulo A, puesto que AM y AK son isogonales )


La demostración es prácticamente visual, si nos fijamos bien en la siguiente imagen:


Trazamos las mediatrices de los lados.
Rectas perpendiculares forman el mismo ángulo.
O1 y O4 están en el arco capaz del segmento O2 y O3, luego en la misma circunferencia.

Problema de T. Emelyanova, de la Olimpiada rusa de 2011, Fase de Repúblicas, Grado10, problema 2.

Con esta entrada participo en la edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es pimedios-la aventura de las matemáticas.



martes, 6 de noviembre de 2012

Factorizando números

Gracias a @Juancarikt y a Microsiervos descubro esta fascinante animación para enseñar a los chicos en clase de matemáticas...me encanta!


 

¿Qué hace un matemático?

Gracias a Tito Eliatron Dixit, me ha gustado tanto que me los traigo a este rinconcito.
Me quedo con esta frase que aparece en el último vídeo:

Las matemáticas al igual que cualquier actividad creativa provienen de un hueco en el alma...algo que buscas desesperadamente...


domingo, 28 de octubre de 2012

Espacio vectorial

Para Isabel,

Ya hemos visto qué es un grupo, y qué es un cuerpo. Ahora ya podemos definir un K-espacio vectorial o un espacio vectorial sobre K en E.

Sea ( K, +, · ) un cuerpo, y ( E, +) un grupo abeliano. Una estructura de K-espacio vectorial es una aplicación del conjunto K x E en E, que verifica cuatro propiedades.





En la última propiedad, el 1 es la unidad del cuerpo.

A los elementos del cuerpo K se les llama escalares, y a los elementos del grupo abeliano E, se les denomina vectores.
Existen otras propiedades dentro del K-espacio vectorial, pero se deducen de la definición, por ejemplo:

  1. El elemento neutro en un espacio vectorial es único.
  2. El elemento opuesto para cada vector es único.
( Estas dos propiedades se verifican en cualquier grupo )










viernes, 26 de octubre de 2012

El anillo

-Ya sé que es un grupo...me explicas ya lo del espacio vectorial?
-Sí, pero antes necesitamos un cuerpo.
-Ay mami! no empieces...
-Bueno, primero tenemos que hablar del anillo.
-¿¿¿anillo???....mami!!  que yo no me quiero casar!

Foto de Mago Moebius




Abeliano es nuestro grupo
y en vez de ( G, · ) será ( A, + )
otra operación aparece
que la estructura formará


Solo dos propiedades
tan solo serán dos 
y el anillo surgirá.
Una ya la conoces
la asociatividad


Otra que liga las dos de manera magistral,
pues nos permite operar con mucha facilidad
aunque, la verdad...
 sacar factor común nunca fue tu debilidad.
Distributiva se llama, no la confundas ya más,
para poder aplicarla, siempre, siempre necesitarás
a las dos operaciones para formar la igualdad:


Ya nuestro anillo tenemos!!
pero puede brillar aún más
si esta última operación
verifica la conmutatividad



Y un brillante final
si en A existe unidad:
un único elemento
que deja invariante
a todos los demás.



Entonces ( A, +, · )
Anillo conmutativo con unidad será.

Ya poco nos queda
para poder formar
la estructura buscada
el cuerpo, nuestro escalar.

Fíjate bien, Isabel
pues todo elemento ha de tener
otro que su inverso ha de ser.
Todos...salvo uno, que es especial,
el neutro del grupo ( A, +)
que si te parece bien
a partir de ahora
cero 0 escribiré.



Ya tenemos un cuerpo
y en vez de ( A, +, · ) será ( K, +, · )
Lo has entendido Isabel?

- Veamos...si solo considero la suma ( K, +) será grupo abeliano. Y si solo considero la multiplicación y al conjunto K le quito el cero, entonces ( K-{0}, · ) también es un grupo abeliano.

-Perfecto Isabel!!

Un cuerpo es un anillo conmutativo con unidad en el que todo elemento no nulo tiene inverso. 


Este segundo post participa en la edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas y su blog anfitrión en esta ocasión es Series Divergentes



El Grupo

-¿Qué es un espacio vectorial?
...dices mientras clavas en mi pupila tu pupila azul...



-¿Un espacio vectorial?...mmm...primero necesitamos un cuerpo.
-¡Mama! que no! que son vectores!
-Un cuerpo que actue.
-mmm...Brad Pitt!
-Uff...tenías que haber estudiado matemáticas en 2º de Bachillerato...

Vamos primero con lo primero: el grupo.



Un grupo es nuestra semilla.
Un conjunto de elementos.
La estructura más sencilla
cuando queda definida
una sola operación.

Cuatro son las propiedades
Fíjate bien!, son importantes,
la primera asociativa
si en vez de dos, son tres.


Un elemento ha de haber
tal que al operar con él
cualquier otro quede igual,
y da igual, 
por delante o por detrás,
invariante quedará.
El neutro lo llamarás.


La tercera es el inverso
lee bien este verso:
Todo elemento tendrá
otro que al operar
el neutro resultará.


Fíjate que único será,
la propiedad asociativa
la igualdad demostrará




Hasta aquí el grupo definido está,
mas hay una cosa más,
abeliano lo llamarás
si se da esta propiedad,
la conmutatividad.
Por delante o por detrás
el mismo resultado obtendrás.



Para Isabel


Este post participa en la edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas y su blog anfitrión Series Divergentes

jueves, 27 de septiembre de 2012

Y tú... ¿Qué haces aquí?

Ufff, cuánto tiempo sin escribir en este blog...y es que me lío, me lío sin querer y me quedo sin tiempo para Animando la web2.0. Bueno, la verdad es que me lío queriendo y con mucho cariño en algunos proyectos (#enlanubeTic, #miradentrodeTic, #Guappis) donde encuentras a compañeros que regalan su tiempo y su esfuerzo por mejorar la educación y su labor en las aulas...aún en estos tiempos donde nos recortan hasta las ganas....

Pero no quería dejar pasar la ocasión de escribir algo para mi querido Carnaval de Matemáticas que ya empezó este mes de septiembre con excelentes artículos. Me gusta participar y dejar mi granito de arena para la divulgación de las matemáticas....porque sí, soy profesora de mates y me encanta dar una visión diferente de lo que muchos alumnos piensan sobre ellas.

Y por lo visto, no solo los alumnos tienen una idea aburrida de lo que es una clase de matemáticas...también otros compañeros opinan que lo somos.

Hace unos días asistí al  Congreso Iberoamericano de las Lenguas en la Educación y en la Cultura IV Congreso Leer.es, que se celebró en mi querida Salamanca. Allí me encontré con antiguos compañeros de aula, que compartieron conmigo pasillos, recreos y claustros. La mayoría profesores de lengua que al verme me preguntaron: Y tú...¿Qué haces aquí?

Pues ya ves..., soy profe de matemáticas y me gusta leer.

Es más, creo que una de las cosas más necesarias es fomentar la lectura en la escuela. La comprensión de los textos y la utilización de nuestro vocabulario es fundamental en clase de matemáticas. Razonamos con palabras y con estructuras gramaticales y cuanto más se lea, mejor se expresará el alumno, y mejor pensará.

La verdad es que la palabra "matemáticas" fue muy utilizada en muchas de las ponencias, creo recordar que hasta en la deliciosa clausura que nos regaló Víctor García de la Concha, se mencionaron en más de una ocasión.




Me gustaron todas las ponencias, pero me quedo con Luis Balbuena y con su ponencia sobre El Quijote y  Matemáticas. .




"...ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas; y, dejando aparte que ha de estar adornado de todas las virtudes teologales…"




Y aprovecho esta ocasión para agradecer a mi querido amigo Juan Martínez-Tébar Giménez, siempre atento a lo que se habla por tuiter sobre matemáticas, por hacerme este regalito. Mil gracias!!



Con esta entrada participo en la edición 3'141592 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es ZTF News

lunes, 21 de mayo de 2012

Dibujando funciones

Empieza el carnaval de matemáticas de este precioso mes de Mayo, con @gaussianos de anfitrión y su magnífico blog que todos conocéis. Para participar esta vez, me gustaría proponer una actividad para llevarla al aula de matemáticas en cuarto de la ESO y primero de Bachillerato, cuando andamos liados explicando las ecuaciones de la recta y la representación gráfica en un sistema de coordenadas ,o cuando hablamos de vectores en el plano, de distancias entre puntos, de pendientes, de funciones de segundo grado, parábolas, hipérbolas, elipses...

La idea empezó leyendo este post de Gaussianos, después pensé en alguna actividad para el proyecto miradentrodeTIC y sus monstruitos, y por último he encontrado la herramienta ideal para llevarlo a cabo, de hecho no estoy inventando nada nuevo. Podéis echar un vistazo aquí.  o en Facebook. Y por cierto también tienen el logo de batman...genial!

A muchos de los pequeños ESOnautas, como los llama mi querido Juan Martínez-Tebar, @juanmtg1 en nuestras charlas tuiteras, este tema les parece super-aburrido y muchos de ellos no muestran ningún interés en el mismo.
Tragan la teoría sin masticar y...claro!, unos se añusgan (cómo dicen por estas tierras charras) y otros no digieren bien...además de darse el atracón tres días ( si acaso) antes del dichoso exámen escrito...y ya sabemos que, en matemáticas, los atracones son perjudiciales para la salud.

En internet podemos encontrar actividades muy interesantes para llevar al aula. Por ejemplo este estupendo programa sobre las cónicas 

Nuestro error, y esto es una opinión muy personal (cómo no!), es que les damos la solución antes de plantearles el problema, con lo que no surge la necesidad de saber..., ni surge el interés por conocer algo que está muy distante de su mundo real, de sus gustos y de sus aficiones.

Aprovechando la creatividad innata que tienen nuestros alumnos y sus gustos, podemos plantear actividades diferentes a las que están acostumbrados...por ejemplo los planos de una casa, el diseño de un logo de empresa, el presupuesto para lanzar un negocio, el diseño de una tipografía, el escenario de un videojuego, una infografía sobre un estudio estadístico...y si están ligados dentro de un proyecto interdisciplinar, mucho mejor.

Yo propongo un concurso: Diseña tu monstruo.
Se trabajará por equipos de tres o cuatro personas, cada integrante del equipo realizará un diseño y entre ellos votarán el mejor para representar al equipo. Se expondrá en el aula comentando cómo realizaron el diseño, las dificultades, las soluciones buscadas, qué han aprendido...Se puede hacer una exposición pública de todos los trabajos utilizando Pinterest  u otra herramienta web, y una encuesta on-line en la que podría participar  todo el centro educativo para seleccionar el ganador.

Para realizar el dibujo, necesitarán averiguar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos o la ecuación de una parábola o una elipse, realizar transformaciones de funciones...el manejo de intervalos en la recta, dominar el trabajo con coordenadas...

Lo mejor es dejar que ellos investiguen, experimenten y resuelvan las dificultades que se encuentren, aunque siempre viene bien ofrecerles algunos enlaces o archivos como punto de partida.

Presentaciones teóricas:
Vectores
Geometría de la recta
Las cónicas

Ficheros de ayuda (con geogebra)
Parábolas descarga
Elipses e hipérbolas Descarga

Exposición de un ejemplo. (Mikey)

El manejo de la herramienta es sencillo, se puede utilizar on-line y sin registro, aunque para guardar los trabajos hay que registrarse, y si usas gmail es muy cómodo, pues se integra con Google Drive. También se puede descargar una imagen con formato png.

Este primer dibujo se lo dedico a Alicia por su séptimo cumpleaños.





Este post participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.




lunes, 23 de abril de 2012

Proporciones en polígonos regulares

Para Robín,
Generalización del problema propuesto en un hexágono regular.Primera parte. Segunda parte
Construimos triángulos de forma que sus lados formen un polígono semejante en su interior. Buscamos ángulos enteros en estos triángulos de manera que la constante de proporcionalidad entre las áreas sea también entera.



Descarga del archivo Proporciones.ggb


Siguiendo con las notación anterior, dado n, el ángulo interior de nuestro polígono será Fi=180(n-2)/n
y Gamma= 180-Fi.
Entonces alfa recorre los valores entre 0 y Fi.
Fijado alfa, obtenemos beta= Fi-alfa,
Realmente no necesitamos hallar longitudes de lados, simplemente valorar k.



Por tanto basta encontrar los valores enteros de la función



¿Quién se anima a resolver el reto de Robín?



Y aprovechando que ha empezado la edición 3.141 del carnaval de matemáticas, participamos con esta entrada. En esta ocasión el anfitrión es el blog DesEquilibrios

domingo, 22 de abril de 2012

Proporciones en hexágono II

Para Robín:
Te dejo los archivos en geogebra. Si haces doble clic, creo que puedes verlo mejor. Tienes un protocolo de construcción donde ves cada paso.

En primer lugar, sigo con tu notación del comentario en la entrada anterior.
Fijado L y k buscamos b y alfa.


Por el teorema del Coseno:

Nos quedamos con la solución positiva, por tanto:

Para calcular alfa es más sencillo utilizar el teorema del seno:





 En este caso el ángulo alfa recorre las amplitudes desde 1 hasta 120. Aplicando el teorema del seno obtenemos b=sen(alfa)L/sen(60).




 En este caso fijamos la constante k y obtenemos el ángulo alfa, aplicando el teorema del coseno:
b=l/2(raíz(4k-3)-1)



jueves, 19 de abril de 2012

Proporciones en hexágonos


Para Robín:
El problema en cuestión planteado en el blog ¡Tierra a la Vista!:
Dado un hexágono regular, se dibujan seis triángulos rectángulos iguales, de ángulos 30 y 60 grados, como en la figura:

¿Qué proporción del área del hexágono mayor representa el área del hexágono menor?

Las pistas:

  • La fórmula del área de un polígono regular es:



siendo el número de lados y la longitud de cada lado, es decir  
Aunque hay varias maneras de hacerlo, yo utilizaría el teorema de Thales en triángulos proporcionales y la simetría de la figura.


  • Dos observaciones:
    - Todos los triángulos cuyos ángulos son 30,60,90 son semejantes y por Thales sus lados homólogos son proporcionales.(Utilizando esto yo llegaría a la relación que hay entre el lado del hexágono mayor y el lado del hexágono menor)

    - Si k es la constante de proporcionalidad entre los lados, entonces k al cuadrado es la constante de proporcionalidad entre las áreas.


  • Por si alguien no lo sabe...si dos triángulos son semejantes, es decir tienen los tres ángulos iguales,Thales dice:

Donde    son los lados de un triángulo y    son los lados homólogos del otro.


Respuesta de Robín:

Sean L y l los lados del hexágono grande y del pequeño. Vemos por trigonometría simple que
l = L/cos 30 -L tg 30 = L (1-sen 30)/cos 30 =
L/ 2 cos 30. Notemos que la diagonal d de los triángulos rectángulos, mide L /cos 30 por lo que d = 2l.
El área de un hexágono es proporcional al de los triángulos equiláteros que van de su centro a cada uno de sus lados y el de estos al cuadrado de su lado. En palabras menos gruesas A1/A2 = L^2/l^2 = (L/l)^2 = (2 cos 30)^2 = 4 cos ^2 30
= 4 3/4 = 3.

Perfecto, además nos regala este comentario:
No tengo ahora cámara fotográfica digital, pero en las analógicas, con película química; el diafragma que permitía la entrada de más o menos luz, y a la vez la regulación de la profundidad de campo nítido; consistía de triangulillos metálicos o de otro material, muy finos de este tipo, situados de esa forma, creo recordar , hexagonalmente. De tal manera, además, que en cada posición sucesiva del diafragma hexagonal, el área que permite la entrada de la luz, fuera la mitad de la del hexágono anterior. Pero no pienso yo ponerme a calcular las proporciones lineales en cada caso.


Pues verás Robín, has hecho un estupendo calculo trigonométrico, pero creo que es más fácil para los que no saben trigonometría aplicar la proporcionalidad...mis alumnos de la eso saben el Teorema de Thales, el Teorema de Pitágoras y además saben también que el radio de la circunferencia circunscrita en el hexágono coincide con el lado (es el único polígono regular que lo cumple).
Utilizando esto tenemos que:


Hay dos triángulos proporcionales:






Por tanto tenemos las relaciones siguientes:

 
De donde:



Esto ya nos lo imaginábamos, que x es tres veces el lado del hexágono pequeño. También podíamos haber deducido esto por los ángulos, pues al continuar uno de los catetos obtenemos triángulos equiláteros donde sus tres lados son iguales:


Por Pitágoras:



Sustituyendo tenemos



Luego


Y por tanto el área del hexágono pequeño representa un tercio del área del hexágono mayor.

Una vez aclarado esto... ¿quién se anima a responder al reto de Robín?